Intro - Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
 
(30 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{{Heureka2|Kap 7 s 130-134 }}
{| class="wikitable"
|-
! Digital bok !! Pappersbok !! Navigering
|-
| {{Gleerups|<br />
<br />
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/6a374dbd-e151-4d36-9bc5-cf00d86e7a63  Harmonisk svängning i en fjäder]<br />
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/a0f98b8d-e159-48db-ad82-1324471e80f5 Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse]
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/29d106ca-9d50-431e-b066-45d64b3f881d?page{{=}}9999 Exempel]
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/4f3b3d8b-7f43-417c-b41f-d1788ec1a60b Uppgifter]
}}
| {{Heureka2|Kap 7 s 130-134 }}
| Upp till [[Harmonisk_svängning]]
|}
{{clear}}
 
== Fysikalisk förklaring ==
 
Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:
 
: <math> F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad  (1)</math>
 
För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:
 
: <math> F = - k y  \qquad (2)</math>
 
Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation
 
: <math>-k y = m y'' \qquad (3)</math>
 
Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.
 
:<math>y(t) = \sin(\omega t),\  </math>
 
Jämförelse med (3) ger att
 
: <math>\omega = \sqrt\frac{k}{m},</math>
 
Den allmänna lösningen kan skrivas som
 
:<math>y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m},</math>
 
där ''A'' och φ är integrationskonstanter.
 
=== Fysikalisk beskrivning ===
 
Oscillationsfrekvensen ''f'' = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.
 
* I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll. 
* I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal. 
* Energin växlar mellan två olika former.
 
{{svwp|Harmonisk oscillator}}
 
== Matematisk förklaring ==
 
[[Bild:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|Punkten utför en harmonisk rörelse]]
 
'''Harmonisk rörelse''' är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.


En ''enkel harmonisk rörelse'' kan beskrivas med endast en sinusterm.
=== Ekvationer ===
För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden ''T'' kan positionen <math>x(t)</math> som funktion av tiden skrivas som
:<math> x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , </math>
där <math> \omega = 2 \pi/T </math> är vinkelfrekvensen och <math>\phi</math> är vågrörelsens fas.
Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:
:<math> v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} =  A\omega \cos ( \omega t+\phi ). </math>
Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:
:<math> a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). </math>
Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:
:<math>f'' = - c f, \,</math>
ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.
=== Massa-fjäder-system ===
Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa ''m'' som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten ''k''.
Periodtiden
:<math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.
Texten ovan kommer från sidan där {{svwp|Harmonisk rörelse}}.
== Aktivitet ==
=== Observation ===
[[File:Animated-mass-spring.gif|thumb|Animated-mass-spring]]
{{defruta| '''Harmonisk rörelse'''
Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k).
}}
<br />
{{uppgruta|
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment.
}}
== Lär mer ==
{{#ev:youtube| XjyOYluqnDM |320|right |Harmonic motion}}
{{#ev:youtube| UucmzqnydFo |320|right |Harmonisk svängning del 1}}
{{#ev:youtube| mF8Ga9cZEU8 |320|right |Demonstration av harmonisk svängningsrörelse}}
{{#ev:youtube| mF8Ga9cZEU8 |320|right |Demonstration av harmonisk svängningsrörelse}}
{{#ev:youtube| GVjrl7LXtsg |320|right |Harmonisk svängningsrörelse}}
{{#ev:youtube| GVjrl7LXtsg |320|right |Harmonisk svängningsrörelse}}
{{#ev:youtube| cCouUzXJFDA |320|right |Genomräknad exempeluppgift på harmonisk pendel }}
{{#ev:youtube| cCouUzXJFDA |320|right |Genomräknad exempeluppgift på harmonisk pendel }}
: {{svwp|Harmonisk_rörelse}}
: {{enwp|Simple_harmonic_motion}}
{{clear}}
{{clear}}


Rad 11: Rad 122:
<iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html" width="800" height="600"></iframe>
<iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html" width="800" height="600"></iframe>
</html>
</html>
== GeoGebra ==
<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pY4Hvugh/width/950/height/550/border/888888" width="950px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
Från [https://www.geogebra.org/m/pY4Hvugh GeoGebraTube].

Nuvarande version från 11 december 2017 kl. 13.21

Digital bok Pappersbok Navigering

NoK Heureka Fysik 2: Kap 7 s 130-134

Upp till Harmonisk_svängning

Fysikalisk förklaring

Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:

[math]\displaystyle{ F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad (1) }[/math]

För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:

[math]\displaystyle{ F = - k y \qquad (2) }[/math]

Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation

[math]\displaystyle{ -k y = m y'' \qquad (3) }[/math]

Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.

[math]\displaystyle{ y(t) = \sin(\omega t),\ }[/math]

Jämförelse med (3) ger att

[math]\displaystyle{ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]

Den allmänna lösningen kan skrivas som

[math]\displaystyle{ y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]

där A och φ är integrationskonstanter.

Fysikalisk beskrivning

Oscillationsfrekvensen f = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.

  • I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
  • I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
  • Energin växlar mellan två olika former.

Wikipedia skriver om Harmonisk oscillator

Matematisk förklaring

Punkten utför en harmonisk rörelse

Harmonisk rörelse är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.

En enkel harmonisk rörelse kan beskrivas med endast en sinusterm.

Ekvationer

För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T kan positionen [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] som funktion av tiden skrivas som

[math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , }[/math]

där [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi/T }[/math] är vinkelfrekvensen och [math]\displaystyle{ \phi }[/math] är vågrörelsens fas.

Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:

[math]\displaystyle{ v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). }[/math]

Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:

[math]\displaystyle{ a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). }[/math]

Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:

[math]\displaystyle{ f'' = - c f, \, }[/math]

ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.

Massa-fjäder-system

Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa m som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten k.

Periodtiden

[math]\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} }[/math]

är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.

Texten ovan kommer från sidan där Wikipedia skriver om Harmonisk rörelse.

Aktivitet

Observation

Animated-mass-spring
Definition
Harmonisk rörelse

Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k).


Uppgift

Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment.


Lär mer

Harmonic motion
Harmonisk svängning del 1
Demonstration av harmonisk svängningsrörelse
Harmonisk svängningsrörelse
Genomräknad exempeluppgift på harmonisk pendel
Wikipedia skriver om Harmonisk_rörelse
Wikipedia:Simple_harmonic_motion

PhET - tyngd i fjäder

GeoGebra

Från GeoGebraTube.