|
|
| (34 mellanliggande sidversioner av en annan användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Lektion 1 - Algebra repetition== | | == [[Lektion 1 - Algebra repetition]] == |
|
| |
|
| {{kvadreringsregeln}}
| | == [[Lektion 2 - Trigonometriska grunder]] == |
|
| |
|
| {{uppgruta|'''Repetitionstest'''
| | == [[Lektion 3 - Fasta värden]] == |
| Skriv formler eller algebraiska förklaringar för detta:
| |
| * kvadreringsreglerna
| |
| * formelhantering: Vad är <math> R</math> om <math> I=\frac{U}{R}</math>
| |
| * pq-formeln
| |
| * Pythagoras sats
| |
| }}
| |
|
| |
|
| {{läxa|
| | == [[Lektion 4 - Enhetscirkeln]] == |
| * Räkna uppgifterna på sidan 9.
| |
| * Titta även igenom innehållet till lektion 2 här på wikiskola.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| == Lektion 2 == | | == [[Lektion 5 - Areasatsen]] == |
|
| |
|
| {{#ev:youtube| hB3PZPDPHy8 |240|left|}}{{#ev:youtube| Rl92xUAmhgI |240|right|}}
| | == [[Lektion 6 Sinussatsen]] == |
| {{clear}}
| |
| {{#ev:youtube| _ALeqdwMxwM |240|right|}}
| |
|
| |
|
| {{trigonometri grund}}
| | == [[Lektion 7 Cosinussatsen]] == |
|
| |
|
| === Den rätvinkliga triangeln === | | == [[Lektion 8 Problemlösning trigonometri]] == |
|
| |
|
| [[Fil:Rtriangle.png|höger|miniatyr|200px|En rätvinklig triangel med hypotenusan ''c'' och katetrarna ''a'' och ''b''.]] | | == [[Lektion 9 Cirkelns ekvation]] == |
| En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas '''hypotenusa''' och de två övriga sidorna kallas '''katetrar'''.
| |
|
| |
|
| Om ytterligare en vinkel är känd i en rätvinklig triangel är även den tredje vinkeln känd då en triangels vinkelsumma är 180 grader. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Dessa kvoter ges av de trigonometriska funktionerna för en vinkel ''A'', där ''a'', ''b'' och ''c'' syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger enligt:
| | == [[Lektion 10 - Repetition inför trigonometriprov]] == |
| * Sinusfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan:
| |
| ::<math>\sin A = \frac{a}{c}</math>
| |
| * Kosingsfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan:
| |
| ::<math>\cos A = \frac{b}{c}</math>
| |
| * Tangensfunktionens värde för en vinkel är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd:
| |
| ::<math>\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}</math>
| |
| Med dessa funktioner är det möjligt att (givet exempelvis en sida och en vinkel) bestämma alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.
| |
| {{wp}}
| |
|
| |
|
| | | == [[Lektion 11 - Gör ett facit till trigonometriprovet]] == |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/trigonometry_1.5 trigonometry 1.5 - den rätvinkliga triangeln]}}
| |
| | |
| {{lm3c|Trigonometri|10}}
| |
| :
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1201-1207 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 3 - Fasta värden == | |
| | |
| {{#ev:youtube| 03NICWDwUKA|240|right|}}
| |
| | |
| === En halv kvadrat ===
| |
| | |
| ::<math>\sin 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
| |
| | |
| === En halv liksidig triangel ===
| |
| | |
| ::<math>\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\sin 30 = \frac{1}{2} = \cos 60</math>
| |
| :
| |
| ::<math>\tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} </math>
| |
| :
| |
| ::<math>\tan 60 = {\sqrt{3} </math>
| |
| :
| |
| <br />
| |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/pythagorean_theorem_2 Special right triangles]}}
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1218-1223 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 4 - Enhetscirkeln ==
| |
| {{#ev:youtube| P9ZWjEkHVrk |240|left|Enhetscirkeln intro}}{{#ev:youtube| FoHkqQFiqP8 |240|right|Enhetscirkeln del 2}}
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| [[Fil:Unit_circle.svg|300px|right|Enhetscirkeln. Koordinaten för en punkt på cirkeln kan beräknas utifrån vinkeln ''t'' med hjälp av cosinus och sinus.]]
| |
| {{lm3c|Enhetscirkeln|16-21}}
| |
| | |
| Det handlar om trigonometri och cirklar.
| |
| | |
| En enhetscirkel är en cirkel i planet med radie 1. Ofta talar man om enhetscirkeln och avser då en enhetscirkel med mittpunkt i origo.
| |
| Av Pythagoras sats följer att enhetscirkeln kan beskrivas i kartesiska koordinater som mängden av punkter (x, y) sådana att x2 + y2 = 1. I polära koordinater blir detta den trigonometriska ettan.
| |
| | |
| För att beräkna de kartesiska koordinaterna (x, y) för en punkt på enhetscirkeln som befinner sig vid vinkeln t mätt från x-axeln kan man använda cosinus och sinus:
| |
| | |
| :<math>x = \cos t \qquad y = \sin t</math>
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| === Geogebra ===
| |
| | |
| [http://www.malinc.se/math/trigonometry/unitcirclesv.php Malin C om Enhetscirkeln.]
| |
| | |
| === Viktiga samband ===
| |
| [[Fil:Sin-cos-defn-I.png|300px|right]]
| |
| | |
| <ggb_applet width="494" height="351" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| <br />
| |
| | |
| :<math>x = \sin (180-t = \sin t</math>
| |
| :<math>\cos (- t) = \cos t</math>
| |
| | |
| === Dagens mentala kliv ===
| |
| | |
| # De trigonometriska funktionerna fungerar för vinklar som är större än 90<sup>o</sup>. De gäller inom hela enhetscirkeln.
| |
| # Cos t = x-koordinaten och sin t = y-koordinaten.
| |
| # Även det omvända gäller. Enhetscirkeln kan hjälpa oss förstå de inversa funktionen sin<sup>-1</sup> och cos<sup>-1</sup> som att man utgår får ett värde på axeln, går ut till cirkeln och mäter den motsvarande vinkeln.
| |
| | |
| [[File:Sin drawing process.gif|thumb|left|711px|Animationen visar grafen för funktionen y = sin x. Vinkeln är i radianer (där 2 pi motsvarar 360<sup>o</sup>]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Trigonometriska ekvationer ===
| |
| | |
| Det trigonometriska ekvationerna har ofta flera lösningar.
| |
| | |
| '''Fördjupning:''' Här är en lösning till ekvationen sin v = o.5 i [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+v+%3D+0.5&t=esm01 Wolfram Alpha]. Den visar två lösningar till ekvationen (samt fler om man går ytterligare varv runt enhetscirkeln).
| |
| | |
| === Övrigt ===
| |
| | |
| '''Konstigt facit:''' Bry er inte om bilden i facit till 1301.
| |
| | |
| | |
| | |
| {{jspel|Intro
| |
| [[Javascript_och_spel]]
| |
| }}
| |
| {{tnkruta|Öva matte på [[Mattecentrums_räknestugor]]}}
| |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e/unit_circle Unit circle]}}
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1301-1309 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 5 - Triangelsatserna ==
| |
| | |
| === Grader och radianer ===
| |
| | |
| 360 grader motsvarar 2 pi radianer.
| |
| | |
| {{khanruta|[http://www.khanacademy.org/math/trigonometry/e Omvandla mellan grader och radianer]}}
| |
| | |
| Här finns material att hämta... http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
| |
| | |
| === Areasatsen === | |
| | |
| {{#ev:youtube| 3t6AahjyD90 |240|right|Areasatsen}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| ''Triangeln borde ritas om så att sidan b är bas och horisontell.''
| |
| | |
| Dra en höjd mot triangelns bas (sidan AC i detta fall).
| |
| # Höjden h = a sin C
| |
| # Triangelns area A = basen * höjden / 2
| |
| # Sätt in uttrycket för h ger:
| |
| :: Arean = 1/2 ab sin C
| |
| <br />
| |
| {{svwp|areasatsen}}
| |
| <br />
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1401-1405 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 6 Sinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|R1Sjs8FIu38|240|right|Sinussatse}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| # Ställ upp areasatsenför alla tre vinklar.
| |
| # Förläng med 2.
| |
| # Dividera med abc
| |
| <br />
| |
| {{svwp|sinussatsen}}
| |
| <br />
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1414-1421 och gärna fler.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 7 Cosinussatsen ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|yKBLBZ_Thts |240|right|Cosinussatsen}}
| |
| [[Fil:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png|300px]]
| |
| <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Härledning ===
| |
| | |
| [[Fil:Cosinussatsen1.png|left|400px]]
| |
| [[Fil:Cosinussatsen2.png|right|400px]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| # Rita in en höjd i den vänstra triangeln så att det bildas två trianglar som i den högra bilden ovan.
| |
| # Använd Pythagoras för de båda trianglarna
| |
| # x<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> (1)
| |
| # (x-b)<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
| |
| # Förnkla uttrycket ger
| |
| #: x<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>-2bx+h<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
| |
| # Stuva om i termerna
| |
| #: x<sup>2</sup>+h<sup>2</sup> = 2bx + c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> (2)
| |
| # Sätt x<sup>2</sup> + h<sup>2</sup> lika. Ekvation (1) i ekvation (2)
| |
| #: a<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>+2bx
| |
| # Använd att x = acosC ger
| |
| #: a<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>+2bacosC
| |
| # Stuva om så att c<sup>2</sup> står fritt ger
| |
| #: c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>-2abcosC
| |
| <br />
| |
| {{svwp|cosinussatsen}}
| |
| <br />
| |
| {{Läxa|Lös uppgifterna 1428-1433 och gärna fler.
| |
| | |
| Det finns ingen film att flippa på emn ni får en annan uppgift:
| |
| | |
| Hitta på ett problem/en uppgift som du skulle vilja ha med påprovet.
| |
| }}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Lektion 8 Problemlösning ==
| |
| | |
| === Uppvärmning ===
| |
| | |
| En reklambild från Facebook (till höger)
| |
| | |
| [[Fil:Kvadrater.png|450px|right]]
| |
| | |
| === Vad bör man tänka på vid problemlösning? ===
| |
| | |
| # Rta Figur
| |
| # Sätt ut variabler och värden i figuren
| |
| # Välj Formel (eller sats)
| |
| # Utför beräkningarna
| |
| # Kontrollera om svaret är rimligt och om det finns flera svar
| |
| <br />
| |
| <br />
| |
| | |
| {{lm3c|Problemlösning|34-35}}
| |
| {{uppgruta|'''Grupparbete'''
| |
| | |
| Denna lektion ska vi jobba med problemlösning i grupp. Ni väljer ett av problemen i boken och löser det tillsammans. Lösningen sk gå att presentera med projektor och ska lämnas in. Vem som helst i grupen ska kunna presentera den. Era lösningar kommer att publiceras på Wikiskola.
| |
| | |
| Ni får 20 minuter på er.
| |
| }}
| |
| {{flipp}}
| |
| | |
| == Lektion 9 Cirkelns ekvation ==
| |
| | |
| {{defruta|'''Cirkeln'''
| |
| * En cirkel består av de punkter som ligger på samma avstånd till cirkelns mittpunkt.
| |
| * Avståndet från mittpunkten till cirkeln är radien.
| |
| }}
| |
| <br />
| |
| === Centrum i origo ===
| |
| [[File:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|thumb|right|250px|En cirkel med radien 2.]]
| |
| | |
| En cirkel med centrum i origo och radien r kan skrivas på formen:
| |
| | |
| :<math>x^2 + y^2 = r^2.\!\ </math>
| |
| | |
| En punkt på cirkeln har ett avstånd från origo som beskrivs genom Pythagoras. I figuren till höger är radien roten ur 4, dvs 2.
| |
| | |
| {{svwp|Pythagoras sats}}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Flytta cirkelns mittpunkt ===
| |
| [[Image:Cirkellns_ekvation5.png|350px|thumb|right|En cirkel med radien 2]]
| |
| | |
| I ett koordinatsystem kan en cirkel med mittpunkt i (''a'', ''b'') och radien ''r'', beskrivas som mängden av punkter som uppfyller ekvationen
| |
| :<math>\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.</math>
| |
| <br />
| |
| | |
| Ekvationen kan ställas upp genom utnyttjande av Pythagoras sats för avståndet mellan punkterna <math>(a,b)</math> och <math>(x,y)</math>.
| |
| | |
| Se det som att man flyttar cirkelns mittpunkt från origo till punkten <math>(a,b)</math> genom att sätta in a och b i uttrycket ovan.
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Exempel ===
| |
| | |
| [[Fil:Cirkellns_ekvation.png|right|thumb|350px]]
| |
| | |
| Cirkelns ekvation är:
| |
| | |
| : <math>9=(x+2)^2+(y-3)^2</math>
| |
| | |
| Den här cirkeln har sin mittpunkt i x = -2 och y = 3. Det är de värdena som ger noll inom respektive parentes.
| |
| | |
| Pröva att sätta in x = 0 respektive y = 0 ger punkterna där cirkeln skär axlarna.
| |
| | |
| Var skär cirkeln x-axeln?
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Cirkel med glidare ===
| |
| | |
| <ggb_applet width="635" height="441" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| == lektion 10 - Cirkeln på parameterform ==
| |
| | |
| Det här är en digitalövning där vi ska titta på hur man ritar cirkeln på parameterform och hur det görs i javascript.
| |
| | |
| Det vi sett tidigare med cirkelns ekvation kallas att använda kartesiska koordinater. Problemet är att man inte kan lösa ut y som en funktion av x utan att ta roten ur. Roten ur ger ju som bekant två rötter, en positiv och en negativ. Det ställer till problem genom att en funktion bara ska ha ett y-värde per x-värde.
| |
| | |
| Man kan i och för sig tänka sig att rita de båda värdena samtidigt men det finns ett bättre sätt - '''polära koordinater'''
| |
| | |
| ===Parametrisering===
| |
| | |
| Tänk på den rätvinkliga triangeln med hypotenusan r. Då kan man utgå från cirkelns mittpunkt i origo och beskriva x med cosinus och y med sinus som vi gjort tidigare. X- och y-koordnaterna uttrycks med hjälp av radien ''r'' och vinkeln ''t''. Det kallas för parametrisering. ''r'' är parametern och ''t'' är en ny variabel, vinkeln. En parameter kan ändras från cirkel till cirkel vilket ger ändrad storlek (radie) men den ändras inte medans man ritar cirkeln. Gör man det får man helt andra former och det finns faktiskt exempel på det med på spelprogrammering.nu men det får du kolla på själv senare.
| |
| | |
| :<math> x = r \cdot \cos t\,</math>
| |
| :<math> y = r \cdot \sin t\,</math>
| |
| | |
| För ''r = 1'' erhålls enhetscirkeln, det vill säga cirkeln med radie 1 och med mittpunkt i origo. t är i detta fall en vinkel som ökar från 0-360<sup>o</sup>.
| |
| | |
| === Javascript ===
| |
| {{jspel|titta först på funktionen cirkel. Sid 5 i boken spelprogramering.nu.
| |
| | |
| Sedan finns en del exempel hämtade från kapitel 8.
| |
| }}
| |
| | |
| Idag ska vi äntligen jobba med Javascript!
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Kartesiska koordinater ====
| |
| | |
| {{uppgruta| Prova att använda cirkelns ekvation och rita en cirkel.
| |
| | |
| '''Tips''': du måste lösa ut y.
| |
| * Använde den här sidan att pröva på: http://www.wikiskola.se/javascript/kod.html
| |
| * koden: http://www.wikiskola.se/javascript/kod.js
| |
| }}
| |
| <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:589px">
| |
| '''Facit:''' (klicka expandera till höger)
| |
| <div class="mw-collapsible-content">
| |
| * cirkeln http://www.wikiskola.se/javascript/cirkel_kartesiska.html
| |
| * koden http://www.wikiskola.se/javascript/cirkel_kartesiska.js
| |
| </div>
| |
| </div>
| |
| <br />
| |
| | |
| ==== Polära koordinater ====
| |
| | |
| Titta på de här exemplen om hur enkelt man ritar cirklar med polära koordinater:
| |
| * Titta först på en punkt och en vinkel ritad i kartesiska koordinater: http://spelprogrammering.nu/bokexempel/08/06.html
| |
| * Läs [http://spelprogrammering.nu/tutorial första sidan]
| |
| * Koden ovan anropar en funktion som heter circle och som finns i ett [http://spelprogrammering.nu/library.js bibliotek] på sajten spelprogrammering.nu. Undersök hur funktionen ser ut.
| |
| * Ritas cirkeln på så sätt som i matteboken?
| |
| ** Tänk på att funktionen circle anropar: context2D.arc som verkar vara gjord i C++ och höra till själva canvas-funktionen (den näms i förbigående på sid 31 i boken). Vet du?
| |
| * En cirkelbåge som går 360 grader är praktiskt. Det kallas polära koordinater.
| |
| ** Kolla http://spelprogrammering.nu/bokexempel/08/enhetscirkeln.html
| |
| ** En båge med vinkeln en radian: http://spelprogrammering.nu/bokexempel/08/09.html
| |
| ** Fler matteexempel: http://spelprogrammering.nu/bookexamples08
| |
| * Kan vi gå tillväga som i funktionen för triangeln och skapa en cirkel med vår formel från matteboken?
| |
| | |
| '''Mer''': Testa funktionen att rita med polära koordinater i GGB.
| |
| | |
| {{clear}}
| |